Question

函数解析能推出什么

Answer 1

一、解析函数的概念
学习目标
会用求导定义公式求导
函数在一点解析的定义
函数在区域解析的定义
函数可导与解析的关系（一点与区域）
会判别函数的解析性
奇数的定义以及与不可导点的关系
会求函数的奇点
1、复变函数的导数
    定义： 设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) 定义与区域 D D D. z 0 z_0 z0​ 为 D D D 中的一点，点 z 0 + Δ z z_0+\Delta z z0​+Δz 不出 D D D 的范围. 如果极限 lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{ \Delta z} Δz→0lim​Δzf(z0​+Δz)−f(z0​)​存在，那么就说 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0​ 可导. 这个极限值称为 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0​ 的导数,记作 f ′ ( z 0 ) = d w d z ∣ z = z 0 = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z f^{'}(z_0)=\frac{dw}{dz}|_{z=z_0}=\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{ \Delta z} f′(z0​)=dzdw​∣z=z0​​=Δz→0lim​Δzf(z0​+Δz)−f(z0​)​
应当注意：定义中 Δ z → 0 \Delta z\rightarrow 0 Δz→0 的方式是任意的，对任意方向都要存在

2、解析函数的概念
    在复变函数理论中，重要的不是只在个别点可导的函数，而是所谓解析函数.
    定义：如果函数 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0​ 及 z 0 z_0 z0​ 的领域内处处可导，那么称 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0​ 解析. 如果 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内每一点解析，那么称 f ( z ) f(z) f(z) 在 D D D 内解析，或称 f ( z ) f(z) f(z) 是 D D D 内的一个解析函数.
    如果 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0​ 不解析，那么称 z 0 z_0 z0​ 为 f ( z ) f(z) f(z) 的奇点.
    由定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是两个不等价的概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高的多.
    例题：研究函数 w = 1 z w=\frac{1}{z} w=z1​ 的解析性
解 解 解：
    因为 w w w 在复平面内除点 z = 0 z=0 z=0 外处处可导，且 d w d z = − 1 z 2 \frac{dw}{dz}=-\frac{1}{z^2} dzdw​=−z21​所以在除 z = 0 z=0 z=0 外的复平面内，函数 w = 1 z w=\frac{1}{z} w=z1​ 处处解析，而 z = 0 z=0 z=0 是它的奇点.
    根据求导法则，不难证明：
    定理   
         1 ） 1） 1）在区域 D D D 内解析的两个函数 f ( z ) f(z) f(z) 与 g ( z ) g(z) g(z) 的和、差、积、商(分母不为零)在 D D D 内解析.
         2 ） 2） 2）设函数 h = g ( z ) h=g(z) h=g(z) 在 z z z 平面上的区域 D D D 内解析，函数 w = f ( h ) w=f(h) w=f(h) 在 h h h 平面内的区域 G G G 内解析. 如果对 D D D 内的每一点 z z z，函数 g ( z ) g(z) g(z) 的对应值 h h h 都属于 G G G,那么复合函数 w = f [ g ( z ) ] w=f[g(z)] w=f[g(z)] 在 D D D 内解析.

    从这个定理可以推知，所有多项式在复平面内是处处解析的，任何一个有理分式函数 P ( z ) Q ( z ) \frac{P(z)}{Q(z)} Q(z)P(z)​ 在不含分母为零的点的区域内是解析函数，使分母为零的点是它的奇点.