Question

级数有什么用处?

Answer 1

这个问题很大！犹如有人问加减乘除有什么用一样。级数在数学上的应用基本是就如同四则运算差不多，可以说到处都能用到，只不过有很多时候你不知道而已。举例来讲：过去所有的数学用表，现在的计算器内置常数，如：对数、三角函数、三角对数、平方根、立方根……实际上都是用级数计算得来的。还有我们常用的π、e等等，没有级数也不可能计算得到多少位有效数字。再如：波形分析，这在振动、声学、电学等等学科中是经常遇到的，波形分析的基本工具就是把波形分解成傅里叶级数；可能你现在只接触的等差、等比级数，其实级数天地里广阔的很呢！

追问

级数是怎么发现的？

追答

　历史上级数出现得很早。亚里士多德（公元前4世纪）就知道公比小于1（大于零）的几何级数具有和数，N.奥尔斯姆（14世纪）就通过见于现代教科书中的方法证明了调和级数级数发散到+∞。但是,首先结合着几何量明确到一般级数的和这个概念，进一步脱离几何表示而达到级数和的纯算术概念，以及更进一步把级数运算视为一种独立的算术运算并正式使用收敛与发散两词,却是已接近于微积分发明的年代了(圣文森特的格雷果里1647、J.沃利斯1655、J.格雷果里1667)。事实上，从古希腊（阿基米德时代）以来，积分的朴素思想用于求积（面积、体积）问题时，就一直在数量计算上以级数的形式出现。收敛级数的结构，以其诸项的依次加下去的运算的无限进展展示着极限过程，而以其余项的无限变小揭示出无限小量的作用。级数收敛概念的逐渐明确有力地帮助了微积分基本概念的形成。
　　微积分在创立的初期就为级数理论的开展提供了基本的素材。它通过自己的基本运算与级数运算的纯形式的结合，达到了一批初等函数的(幂)级数展开。从此以后级数便作为函数的分析等价物,用以计算函数的值,用以代表函数参加运算，并以所得结果阐释函数的性质。在运算过程中,级数被视为多项式的直接的代数推广,并且也就当作通常的多项式来对待。这些基本观点的运用一直持续到19世纪初年，导致了丰硕的成果（主要归功于欧拉、雅各布第一 ·伯努利、J.-L.拉格朗日、傅里叶）。
　　同时，悖论性等式的不时出现（如1/2=1-1+1-1+…,-1=1+2+4+8+…之类)促使人们逐渐地自觉到级数的无限多项之和有别于有限多项之和这一基本事实，注意到函数的级数展开的有效性表现为级数的部分和无限趋近于函数值这一收敛现象，提出了收敛定义的确切陈述，从而开始了分析学的严密化运动（B.波尔查诺1817、柯西1821、阿贝尔1826）。
　　微积分基本运算与级数运算结合的需要，引导人们加强或缩小收敛性而提出一致收敛的概念[K.（T.W.）外尔斯特拉斯(1841)、G.G.斯托克斯（1847）、 P.L.von赛德尔(1848)]。然而（在天文学、物理学中，甚至在柯西本人的研究工作中）函数的级数展开，作为一整个函数的分析等价物，在收敛范围以外的不断的成功的使用，则又迫使人们推广或扩大收敛概念而提出渐近性与可和性(庞加莱，1886；切萨罗，1890；波莱尔，1895)。
　　级数理论中的基本概念总是在其朴素意义获得有效的使用的过程中形成和发展的。

参考资料： http://baike.baidu.com/view/132000.htm

Answer 2

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