Question

利用魏尔斯特拉斯定理证明单调有界数列必有极限（详细严谨的过程）

Answer 1

　　举单调升的列子，设{An}为单调升有界数列，则这个数列一定有极限。
　　证明，首先An是有界数列，它一定有上确界A，An<=A。根据威尔斯特拉斯定理，这个数列有一个子数列Ank收敛于B，而且Ank<=B。实际上，B=A，如果B<A至少有一个An>B+Alfa，因而所有Ank>An>B+Alfa，对所有nk>n成立，其中Alfa=(A-B)/2, 这与B是Ank的极限矛盾。
　　现在，任给E>0，必有k使得 A-Ank<E, 当n>nk, A-An<A-Ank<E。因此An的极限就是A

追问

为什么Ank＜=B成立？根据收敛的定义它在B的一个小临域内不就行吗，可能是右边吗？

追答

Ank单调升,如果有一个s属于{nk},使得As>B那么nk>s时Ank>B+E, 其中E=(As-B)/2。这样B就不能是Ank的极限了

追问

因为｛Ank｝以B为极限，所以若As＞B则对于任意的E＞0，有As-B＜E.就算Ank＞As，因为它也属于此数列，怎么能说明Ank-B大于E呢？

追答

是存在(As-B)/2作为间隔隔开了绝大多数Ank和B。这是直观的说法。

再补充一下，As-B是常数，让E>As-B>0，E怎么任意小？

追问

有道理，那这么说是不是可以认为单调递增的收敛数列每一项都小于它的极限呢？

追答

全部小，极限是上确界