Question

已知定义域为R的函数f（x）=1−2x2x−a是奇函数．？

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用函数奇偶性的性质建立方程即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函数的奇偶性和单调性姜不等式f（2x）+f（1-x）＜0进行转化即可得到结论．
（Ⅰ）∵定义域为R的函数f（x）=
1−2x
2x−a是奇函数．
∴f（-1）=-f（1），
即
1−
1
2

1
2−a＝−
1−2
2−a，整理得[1/1−2a＝
1
2−a]，
则1-2a=2-a，则a=-1，
此时f（x）=
1−2x
2x−a=
1−2x
2x+1，
则f（-x）=
1−2−x
2−x+1=-
1−2x
2x+1=-f（x），
故满足条件，
∵f（x）=
1−2x
2x+1=
2−(2x+1)
2x+1=
2
2x+1−2，
∴f（x）=
1−2x
2x+1是减函数．
（Ⅱ）∵函数f（x）是奇函数，
∴不等式f（2x）+f（1-x）＜0等价为f（2x）＜-f（1-x）=f（x-1），
∵f（x）=
1−2x
2x+1是减函数，
∴2x＞x-1，即x＞-1，
则不等式的解集为（-1，-∞）
,3,已知定义域为R的函数f（x）= 1− 2 x 2 x −a 是奇函数．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判断f（x）的单调性（不必证明）；
（Ⅱ）解不等式f（2x）+f（1-x）＜0．