Question

计算二重积分。可以先计算第二层的？这是考研08年数学二真题的第六题

F(u,v)=∫∫f(x²+y²)/(√x²+y²)dxdy D的积分区域已经给了。

这是考研08年数学二真题的第六题
http://wenku.baidu.com/view/dfd23c8cd0d233d4b14e694e.html
∫dθ ∫ f(r²)dr 1≤r≤u 0≤θ≤v

他为什么可以先把第二次积分的 ∫dθ算出来？ 是因为这里已经没有θ的函数了吗？

意思就是说。
比如一个二重积分
∫dy∫（x²-10x+5）dx 2≤y≤9 总之是两个具体的数 1≤x≤f(z) 只要z不含有y 就可以先把外侧的积分算出来？ 也就是9-2=7
∫dy∫（x²-10x+5）dx=7∫（x²-10x+5）dx
?????
是这样吗？

Answer 1

对。另外再多说一句，如果积分域是个矩形的，而被积函数又可写成f(x)g(y)的形式，二重积分就可转化成两个定积分的乘积。

简单说： ∫ f(r²)dr 对于θ就是常数，常数可以提到积分符号外面，相当于可以先计算∫dθ ，这在二重积分时常见的。∫（x²-10x+5）dx 对于y也是常数。

意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

可以的。
简单说： ∫ f(r²)dr 对于θ就是常数，常数可以提到积分符号外面，相当于可以先计算∫dθ ，这在二重积分时常见的。
∫（x²-10x+5）dx 对于y也是常数，一样的哦

追问

∫dy∫（x²-10x+5）dx=7∫（x²-10x+5）dx
这个式子是不是相等的？

追答

只要x的限无y就可以的：∫dy∫（x²-10x+5）dx=7∫（x²-10x+5）dx

Answer 3

哥 考的不多 110 对于2重积分 你所说的 ∫dθ ∫ f(r²)dr 1≤r≤u 0≤θ≤v
这貌似是极坐标做的吧 1≤r≤u ， 0≤θ≤v ，积分次序是先积r后积θ
，但是这个表达式所积分的是只关于r的表达式 也就是 你积分完r后代入前面θ范围下积分，只是相当于一个常数 ，所以θ的积分可以直接求出是V ,而后就是V∫ f(r²)dr ， 1≤r≤u ，对u的变限积分求导就等于vf(u2),对u的偏导 v是常数
以后你做二重积分 还是按照由后往前 不易出错 关键问题就是你所积分的表达式f(x)的形式，注意这个就行了 很简单的，不清楚再问

追问

∫dy∫（x²-10x+5）dx=7∫（x²-10x+5）dx

这个式子是不是相等的？

Answer 4

是的，后面的被积项肯定没有前面积分的未知数，可以说是因为这里已经没有θ的函数了，也可以说是前面一项关于θ的函数是1，这样的情况先算第一个和第二个结果是一样的，据你的那个例子是
∫dy∫1*（x²-10x+5）dx=7∫（x²-10x+5）dx=∫1*（x²-10x+5）dx ∫dy，如果例子是 ∫dy∫（x²-10x+5+y）dx，那么积分就要变成∫（x²-10x+5+y）dy∫dx或者如果按照你的理解就应该变成 ∫dy∫（x²-10x+5）dx+∫ydy∫dx

Answer 5

是这样的只要第二次积分变量不含第一次积分变量，且第一次积分变量积完分之后结果没有含有第二次积分变量就可以先对第二次积分变量先积分。