Question

如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BD于E,若OE:ED=1:3,AE=根号3,求BD的

如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE：ED=1：3，AE=根号3，求BD的长。
要过程

Answer 1

解：

在矩形ABCD中，∵AC=BD,且互相平分

∴OA=OB=OC=OD

∵OE：ED=1：3

∴OE：OD=1：2 即OD=2OE

∵AE⊥BD于E

∴AB=AO（三线合一定理）

∴△ABO为等边三角形

∴在Rt△AEO中，由勾股定理知AE²+OE²=OA²

即AE²+OE²=(2OE)²

∵AE=根号3

∴OE=1

∴OA=2

∴BD=2OA=4

Answer 2

由OE:ED=1:3得
BE:ED=(OB-OE):ED=(OD-OE):ED=(ED-2OE):ED=OE:3OE=1:3
所以OE=BE,即E为OB中点
又AE⊥BD
所以AE垂直且平分OB
所以AB=AO
又AO=OB
所以AB=AO=OB
己△ABO是等边三角形
所以OB=2BE=2根号3*tan30°=2
所以BD=2OB=4

Answer 3

∵ABCD是矩形
∴∠BAC=90°，OD=OB=1/2BD
∵AE⊥BD
∴∠BAE=∠ADE(同为∠DAD的余角）
∴Rt△ABE∽Rt△DAE
∴AE/BE=DE/AE
AE²=BE×DE
∵OE∶ED=1/3
∴OE∶OD=1∶2
即OE=1/2OD=1/2OB
∴BE=OB-OE=1/2OB
∴BE=OE=1/2OB=1/2BD
DE=OD+OE=1/2BD+1/4BD=3/4BD
∴3/4BD×1/4BD=(√3)²
BD=16

追问

怎么会有∠BAC=90°呢？

追答

∠BAD=90°