Question

已知x2+x+1=0求1+x+x2+x3+x4.......+x2013的值

结果为1+x（1+x+x2）+......+x2011（1+x+x2）=1+0+....+0=1
可是原式=（1+x+x3）+x4+x5+x6+...+x2011+x2012+x2013=0+x4（1+x）+x6+.......+x2010（1+x）+x2012+x2013=-x6+x6+.....-x2012+x2012+x2013（共2014个数，没三项和为0，会剩一个x2013）=x2013
所以1=x2013 ∴x=1 这时1+x+x2又不为0
哪里错了啊？求解！！！好的加分！

Answer 1

都没有错。
x2013=1，得到的结论并不是x=1，而是一个复数值，这个复数满足1+x+x2=0。
可以换个思维，求解方程1+x+x2=0，可以得到两个复数解。再把这两个复数解的任一，代入到后面的式子，可以得到（复数解）^2013=1。
不过显然结果给出来的答案更为简单明了。

追问

什么是复数值啊？我只有初中水平...
x2013=1 x值不是只会=1吗
还有x2+x+1不是无解吗......

追答

复数就是a+ib形式的数值，其中i的平方等于-1。
引入复数值的目的，就是为了回答x2+x+1=0这样的方程的解。
复数是高中数学的内容。跟复数对应的实数，初中以前所学的就是实数。
x2013=1，在实数的范围内只有一个解，就是1。但是在复数范围内，有2013个解。
其中有两个解，满足1+x+x2=0。

当然你现在只是初中生，如果你老师出这个题，你给老师说，这个题不对，1+x+x2=0这个方程不成立。你老师多半会尴尬笑笑，然后说你想得多。然后再也不会把这个题拿出来现了。

Answer 2

同学你好，楼下的说法是对的，下面是我的具体求解过程：
首先，这里涉及到复数，即i的平方=-1，根据求根公式，x1=-1/2+√3(i/2)，x2=-1/2-√3(i/2)。
你可以根据定义带入方程检验，记住，i2=-1
你最终化简得x2013=1
设a=(x1)^2，b=(x2)^2
那么a^2=b，b^2=a
(x1)^2013=((x1)^2)^1006*(x1)=a^1006*x1=b^503*x1=a^251*b*x1=b^125*a*b*x1
=b^126*a*x1=a^63*a*x1=b^32*x1=a^16*x1=b^8*x1=a^4*x1=b^2*x1=a*x1=(x1)^3=1

同理，(x2)^2013=1
式子有点长。