Question

如图,已知抛物线y=ax平方+bx(a不等0),经过点A[3,0]B[4,4]

Answer 1

1、将点坐标A[3,0]、B[4,4]代入抛物线方程y=ax²+bx，得a=1，b=-3；抛物线解析式 y=x²-3x；

2、直线OB的解析式为y=x，向下平移m个单位后的解析式为：y=x-m；此时直线与曲线相切；

将平移后的直线解析式代入曲线由：x-m=x²-3x，此方程应只有一解，根的判别式为0：

(1+3)²-4*1*m=0，m=4；切点横坐标 x=(1+3)/2=2；

由曲线方程求得切点 y=2*2²-3*2=-2，所以坐标D(2,-2)；

3、∠ABO=∠xAB-45°，直线NB与x轴夹角=45°-∠ABO=45°-(∠xAB-45°)=90-∠xAB；

NB斜率k'=tan(90-∠xAB)=cot(∠xAB)=(Xb-Xa)/Yb=(4-3)/4=1/4；

NB解析式：y=(x-4)/4+4；将其代入抛物线方程求出N点坐标 x/4+3=x²-3x，解得x=-3/4；y=45/16；

P点应在通过D点且与OD夹角等于∠ABO的直线上(靠O点比较近一些)，因OD⊥OB，所以其中一条DP线和BN垂直，另一条DP线和AB垂直，斜率分别为-4和-1/4，方程则为y=-4(x-2)-2和y=-(x-2)/4-2；

△POD另外一边OP有一条垂直于ON，方程为y=x(3/4)/(45/16)=4x/15；y=15x/4；

解方程组y=-4(x-2)-2、y=4x/15得：P(15/4,1)；

另有关于OD对称的点P'：P‘(-1,-15/4)；