Question

如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,AD=3,DC=5，AB=4√2，∠B=45°。

动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒。（1）求BC的长。（2）当MN∥AB时，求t的值。（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形。

Answer 1

设D、A到BC边的垂足分别为E、F
由AB=4√2、∠B=45°得DE=AF=BF=4
而CD=5，故CE=3
（1）
若E在BC延长线上则F即为C（AD=3）
BC=4
若E在BC间则EF=AD=3
BC=BF+EF+CE=10
（2）
设N到BC边的垂足为P
MN∥AB时，PN=PM
PN=4CN/5，PC=3CN/5，CM=BC-BM

BC=4时
PM=CM+PC=BC-BM+3CN/5
4-2t+3t/5=t
12t/5=4
t=5/3秒（经检验成立）

BC=10时
PM=CM-PC=BC-BM-3CN/5
10-2t-3t/5=t
t=25/9秒（经检验成立）
（3）
BC=4时，仅C可为顶点
CM=BC-BM
4-2t=t
t=4/3秒（经检验成立）

BC=10时，该分别考虑M、N、C为顶点的可能
C为顶点：
CM=CN
10-2t=t
t=10/3秒（经检验成立）
N为顶点：
PC=PM=(BC-BM)/2
3t/5=(10-2t)/2
t=25/8秒（经检验成立）
M为顶点：【自己应用三角函数尝试解决】