Question

如图，△ABC内接于☉O，☉O′过点C交AC于点E，交☉O于点D，连接AD并延长

如图，△ABC内接于☉O，☉O′过点C交AC于点E，交☉O于点D，连接AD并延长，交☉O′于点F，交BC的延长线于点G，连接EF，要使EF∥CG，△ABC要满足什么条件？补充条件并证明EF∥CG

Answer 1

分析：连接CD，在⊙O'中，∠DCE=∠DFE，
∵EF∥BC，∴∠G=∠DFE=∠DCE，
又∠CAF=∠CAF，
∴ΔACD∽ΔAFG，∴AD/AC=AC/AG，∴AC^2=AD*AG，
连接BD，在⊙O中，∠ABD=∠ACD=∠G，
∴ΔABD∽ΔAGB，∴AB/AD=AG/AD，
∴AB^2=AD*AG，
∴AB=AC，
即ΔABC是等腰三角形(AB=AC)。

证明：连接BD、CD，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ACB+∠ACF=180°，
∴∠ADC=∠ACF，又∠CAG为公共角，
∴ΔACD∽ΔAGD，
∴∠ACD=∠G，
∵∠ACD=∠AFE，
∴∠AFE=∠G，
∴EF∥BC。