Question

初中数学解直角三角形竞赛题：

已知△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．且2b=a+c，延长CA到D，使AD=AB，连接BD
（1）求证：2∠D=∠BAC；
（2）求tan 1/2∠BAC•tan∠BCA的值．

Answer 1

（1）求证：2∠D=∠BAC；（2）求tan 1/2∠BAC•tan∠BCA的值。考点：解直角三角形．专题：证明题．分析：（1）根据AD=AB，得∠ABD=∠D，再根据外角的性质得出2∠D=∠BAC；
（2）延长AC到E，使CE=BE，连接BE，可证明∠BCA=2∠E，根据题意可得出△BDE是直角三角形，从而得出答案．（1）证明：∵AD=AB，∴∠ABD=∠D，
∵∠BAC=∠ABD+∠D，
∴∠BAC=2∠D，
即2∠D=∠BAC；（2）过点B做BE⊥AC于E，作∠C的平分线交BE于F，
设AE=x，
在RtABE和RtCBE中
BE2=AB2-AE2
BE2=BC2-CE2
AB2-AE2=BC2-CE2
c2-x2=a2-（b-x）2
c2=a2-b2+2bx
x=c2+b2-a22b，
x=(c+a)(c-a)+b22b，
∵2b=c+a，
∴AE=x=5c-3a4，
CE=b-x=c+a2-5c-3a4=5a-3c4，
又BE2=BC2-CE2
则BE2=30ac-9a2-9c216
DE=c+x=9c-3a4，
∠D=12∠BAC（已证）
∵tan12∠BAC•tan12∠BCA=BEDE•EFEC，
∴在RtCEB中，根据角平分线的性质
BCCE=BFEF，
BFEF=a5a-3c4=4a5a-3c，
BF+EFEF=9a-3c5a-3c，
BEEF=9a-3c5a-3c，
EF=5a-3c9a-3cBE，
∴tan12∠BAC•tan12∠BCA=BEDE•EFEC=BE•EFDE•EC=5a-3c9a-3c•
30ac-9a2-9c2169c-3a4•
5a-3c4=30ac- 9a2-9c2(9a-3c)(9c-3a)=-3(a-3c)(3a-c)-9(3a-c)(a-3c)=13．点评：本题考查了解直角三角形、勾股定理的逆定理、三角函数的定义，是基础知识要熟练掌握．

Answer 2

1 ）∵ BD=BA
∴ ∠D=∠DBA
∴∠BAC=∠D+∠DBA=2∠D
2）过点B做BE⊥AC于E，
设BE=y，AE=x，
在Rt△ABE和Rt△CBE中，
根据勾股定理：
x²+y²=c²；(b-x)²+y²=a²
两式相减得：b²-2bx=a²-c²得x=（-a²+b²+c²）/2b=[b²-(a+c)(a-c)]/2b=1/2b+c-a=(5c-3a)/4
y²=c²-x²
令tan 1/2∠BAC=t，则
tan 1/2∠BAC•tan∠BCA=t×2t/（1-t²）=2/(1-t²) -2
tan ∠D=tan 1/2∠BAC=t
又tan ∠D=BE/DE=y/（c+x）
∴t²=y²/（c+x）²
=(c-x)/(c+x)
=[c-(5c-3a)/4]/[c+(5c-3a)/4]
=(3a-c)/(9c-3a)
1-t²=1-(3a-c)/(9c-3a)=（10c+6a）/（9c-3a）
tan 1/2∠BAC•tan∠BCA=2/(1-t²) -2
=2(9c-3a)/(10c+6a)-2

Answer 3

1 BD=BA
∠D=∠DBA
∠BAC+∠BAD=180=∠D+∠DBA+∠BAD
∠BAC=∠D+∠DBA=2∠D
2 1/2∠BAC=∠D
tan (1/2∠BAC)•tan∠BCA=tan∠D*tan∠C
做不下去了

Answer 4

第一问简单 就因为等腰三角形 加上三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和

第二问正在考虑中