Question

设a为整数，若存在整数b和c，使(x+a)(x-15)-25=(x+b)(x+c),则a可取的值为多少？

Answer 1

解：原式展开得x^2+(a-15)x-（15a+25）=x^2-(b+c)x+bc 得b+c=（a-15）；b*c=-(15a+25);然后消去a,得15（b+c+15）+25+bc=0;得（b+15）(c+15）+25=0.由于b，c都是整数，而25=5*5=25*1=1*25；所以只要满足（b+15）（c+15）=-25等式即可成立。即（b+15）=-5，（c+15）=5或（b+15）=5，（c+15）=-5或（b+15）=-1，（c+15）=25或（b+15）=1，（c+15）=-25或（b+15）=25，（c+15）=-1或（b+15）=-25，（c+15）=1.分别求出上面集中情况的b,c值，再代入b+c=（a-15）；b*c=-(15a+25);即可求出a

Answer 2

(x+a)(x-15)-25
=x²+ax-15x-15a-25
=x²+x(a-15)-(15a+25)

(x+b)(x+c)
=x²+x(b+c)+bc

∴a-15=b+c
a=15+b+c ①
-5(3a+5)=bc ②
①带入②
bc+15b+15c+250=0
∴b、c中必然有一个是5的倍数
不妨设b是5的倍数
c=-(15b+250)/(15+b)
为整数又可以得到b为偶数
所以b是10的倍数带入①
a=b-(15b+250)/(15+b)+15
可以得出
只有b=10时a为整数a=9

Answer 3

解：(x+a)(x-15)-25
=x^2+(a-15)x+(-15a-25)
=(x+b)(x+c)
=x^2+(b+c)x+bc
所以
a-15=b+c
(1)
-15a-25=bc
(2)
所以
a=15+b+c
带入(2)
bc+15b+15c+250=0
所以b、c中必然有一个是5的倍数
不妨设b是5的倍数
c=-(15b+250)/(15+b)???
为整数又可以得到b为偶数
所以b是10的倍数带入(1)
a=b-(15b+250)/(15+b)+15
进而求出
只有b=10时a为整数a=9