Question

已知椭圆C：x2 4 +y2=1，直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点．

求△AOB面积S的最大值

Answer 1

根据椭圆方程性质，
设A、B点坐标分别为(2sinα，cosα)，(2sinβ，cosβ)；-180°≤α＜β≤180°（不失一般性）；
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，
∴向量OA*向量OB=0
所以4sinαsinβ+cosαcosβ=0
即2[cos(α-β)-cos(α+β)]+1/2[cos(α-β)+cos(α+β)]=0
化简得5cos(α-β)-3cos(α+β)=0
∴cos(α-β)=（3/5）cos(α+β)
△AOB面积S：
4S²=OA²×OB²
=(4sin²α+cos²α)(4sin²β+cos²β)
=（1+3sin²α)(1+3sin²β)
=1+3(3sin²α+3sin²β)+9sin²αsin²β
=1+3[1/2(1-cos2α)+1/2(1-cos2β)]+9/4 (1-cos2α)(1-cos2β)
=25/4 - 15/4 (cos2α+cos2β)+ 9/4 cos2αcos2β
=25/4- 15/2 cos(α+β)cos(α-β)] + 9/8 [cos(2α+2β)+cos(2α-2β)]
=25/4- 15/2 cos(α+β)cos(α-β)] + 9/8 [2cos²(α+β)-1+2cos²(α-β)-1]
=4- 15/2 cos(α+β)cos(α-β)] + 9/4 [cos²(α+β)+cos²(α-β)]
将cos(α-β)=（3/5）cos(α+β)代入得
4S²=4- 9/2 cos²(α+β)+18/5 cos²(α+β)+
=4- 9/10 cos²(α+β)
∵0≤cos²(α+β)
∴4S²≤4
∴S≤1
当cos²(α+β)=0时，S有最大值1
我们再看看什么情况下S有最大值
此时cos(α+β)=0，cos(α-β)=0；
∵-180°≤α＜β≤180°
∴-360°＜α+β＜360°，-360°≤α-β＜0
∴α+β=±90°或±270°
且 α-β=﹣90°或﹣270°
联立解得α=180°，﹣90°，0°，90°，β=α+90°；
或α=-180°，﹣90°，β=α+270°
希望能帮到你
抄袭楼上的

Answer 2

根据椭圆方程性质，
设A、B点坐标分别为(2sinα，cosα)，(2sinβ，cosβ)；-180°≤α＜β≤180°（不失一般性）；
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，
∴向量OA*向量OB=0
所以4sinαsinβ+cosαcosβ=0
即2[cos(α-β)-cos(α+β)]+1/2[cos(α-β)+cos(α+β)]=0
化简得5cos(α-β)-3cos(α+β)=0
∴cos(α-β)=（3/5）cos(α+β)
△AOB面积S：
4S²=OA²×OB²
=(4sin²α+cos²α)(4sin²β+cos²β)
=（1+3sin²α)(1+3sin²β)
=1+3(3sin²α+3sin²β)+9sin²αsin²β
=1+3[1/2(1-cos2α)+1/2(1-cos2β)]+9/4 (1-cos2α)(1-cos2β)
=25/4 - 15/4 (cos2α+cos2β)+ 9/4 cos2αcos2β
=25/4- 15/2 cos(α+β)cos(α-β)] + 9/8 [cos(2α+2β)+cos(2α-2β)]
=25/4- 15/2 cos(α+β)cos(α-β)] + 9/8 [2cos²(α+β)-1+2cos²(α-β)-1]
=4- 15/2 cos(α+β)cos(α-β)] + 9/4 [cos²(α+β)+cos²(α-β)]
将cos(α-β)=（3/5）cos(α+β)代入得
4S²=4- 9/2 cos²(α+β)+18/5 cos²(α+β)+
=4- 9/10 cos²(α+β)
∵0≤cos²(α+β)
∴4S²≤4
∴S≤1
当cos²(α+β)=0时，S有最大值1
我们再看看什么情况下S有最大值
此时cos(α+β)=0，cos(α-β)=0；
∵-180°≤α＜β≤180°
∴-360°＜α+β＜360°，-360°≤α-β＜0
∴α+β=±90°或±270°
且 α-β=﹣90°或﹣270°
联立解得α=180°，﹣90°，0°，90°，β=α+90°；
或α=-180°，﹣90°，β=α+270°
希望能帮到你
本人辛苦计算，其他网友请勿抄袭！

Answer 3

我知道