Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，截面ABC1与截面A1B1C交于DE.

求证：（1）A1B1⊥平面BB1C1C；
（2）A1C⊥BC1；
（3）DE⊥平面BB1C1C.

Answer 1

1、三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠ABC=90°则∠A1B1C1=90°，∠A1B1B=90° A1B1⊥B1C1 A1B1⊥B1B B1C1和B1B 是平面BB1C1C中的线，所以A1B1⊥平面BB1C1C。

2、2AB=BC=BB1=a，平面BB1C1C是正方形，则B1C⊥BC1，A1B1⊥平面BB1C1C，
B1C是斜线A1C在平面BB1C1C中的射影，A1C⊥BC1（垂直射影垂直斜线（三垂线定理））。

3、截面ABC1与截面A1B1C交于D、E.D、E分别是平面ACC1A1和平面BCC1B1的角平分线的交点。三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱所以平面ACC1A1和平面BCC1B1的角平分线互相平分。则2DE=A1B1且DE平行与A1B1，A1B1⊥平面BB1C1C，所以DE⊥平面BB1C1C。