Question

如图，G为三角形ABC中BC边中点，在AB、AC上分别取AE=AF，EF交AG于D，求证：AC:AB=DE:DF

Answer 1

证明：
过B作BH//AC交AG的延长线于点H
∵∴∠BHG=∠CAG，∠GBH=∠ACG
∵G是BC的中点，即BG=CG
∴△ACG≌△HBG
∴AC=BH
根据正弦定理，在△ABH中有BH/AB=sin∠BAH/sin∠BHG；在△AED中有DE/AE=sin∠EAD/sin∠ADE；在△AFD中有DF/AF=sin∠DAF/sin∠ADF。
∵∠BAH=∠EAD，∠BHG=∠CAG=∠DAF，∠ADE+∠ADF=180°
∴sin∠BAH/sin∠BHG=sin∠EAD/sin∠DAF=（sin∠EAD/sin∠ADE）/（sin∠DAF/sin∠ADF）
即BH/AB=（DE/AE）/（DF/AF）
∵AC=BH，AE=AF
∴AC/AB=DE/DF

追问

可不可以不用正弦定理。。

Answer 2

这个很简单的吧
作两条平行线
一条过f点与ae平行，交ag于h
一条过b点与ac平行，交ag延长线于k
于是有角kab＝角ahf，角bka＝角fah
所以三角形bak相似于三角形fha
所以bk：ba＝fa：fh
而fa＝ea，根据ae平行fh有ae：fh＝de：df
所以得到ac：ab＝de：df