Question

设随机变量x,y相互独立 都服从N(0,1) 计算概率P(X^2+Y^2<=1)

Answer 1

解：随机变量x，y相互独立 都服从N(0,1)

则f(x，y)=fX(x)fY(y)=1/（2π）e^(-x²-y²)

P(X^2+Y^2<=1)=∫∫f(x，y)dxdy

积分区域为X²+Y²<=1

使用极坐标

x=rcosθ，y=rsinθ

0<=r<=1

θ属于[0,2π)

∫∫f(x，y)dxdy=1/(2π)∫dθ∫ re^(-r²)dr=∫(0，1)re^(-r²)dr=1/2-1/(2e)

扩展资料

有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如对地面目标射击，弹着点的位置需要两个坐标才能确定，因此研究它要同时考虑两个随机变量，一般称同一概率空间(Ω,F,p)上的n个随机变量构成的n维向量X=(x,x,…，x)为n维随机向量。

随机变量可以看作一维随机向量。称n元x,x,…，x的函数为X的(联合)分布函数。又如果(x,x)为二维随机向量，则称x+ix(i=-1)为复随机变量。

随机变量的独立性
独立性是概率论所独有的一个重要概念。设x,x,…，xn是n个随机变量，如果对任何n个实数x,x,…，xn都有
即它们的联合分布函数F(x,x,…，x)等于它们各自的分布函数F(x),F(x),…，F(x)的乘积，即则称x，x,…，x是独立的。

Answer 2

解：随机变量x,y相互独立 都服从N(0,1)
则f(x,y)=fX(x)fY(y)=1/（2π）e^(-x²-y²)
P(X^2+Y^2<=1)=∫∫f(x,y)dxdy. 积分区域为X²+Y²<=1
使用极坐标
x=rcosθ,y=rsinθ
0<=r<=1
θ属于[0,2π)
∫∫f(x,y)dxdy=1/(2π)∫dθ∫ re^(-r²)dr=∫(0,1)re^(-r²)dr=1/2-1/(2e)
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Answer 3

X^2+Y^2服从卡方分布自由度是2

追问

请教一下，然后怎么算的概率P(X^2+Y^2<=1)？

追答

然后就是查表了 答案是卡方1（2）

Answer 4

前面的答案中少了一个1/2导致答案错了