Question

这种方程是怎么解出来的呢？

Answer 1

根据您提供的信息，我们需要确定一个数值积分公式，使其在积分 $x\sqrt{x}$ 的时候达到 5 阶代数精度，并且是 Gauss 型求积公式。
根据 Gauss 型求积公式的定义，我们需要确定该公式的节点和权重，满足以下条件：
该公式包含 $n+1$ 个节点，其中 $n$ 为该公式的次数，也即代数精度。
该公式对于多项式 $P_k(x)$ 的积分，精确度达到 $2k+1$ 阶。
对于 $x\sqrt{x}$ 这个函数，我们可以先将其化为多项式形式，即：
$$x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}}$$
接下来，我们可以将其展开为幂级数的形式：
$$x^{1+\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+\frac{1}{2}}}{k!}\frac{d^k}{dx^k}(x^{1+\frac{1}{2}})\bigg|_{x=0}$$
将其截取前 $n$ 项，我们可以得到一个 $n$ 次多项式 $P_n(x)$：
$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k+\frac{1}{2}}}{k!}\frac{d^k}{dx^k}(x^{1+\frac{1}{2}})\bigg|_{x=0}$$
接下来，我们将其积分，得到：
$$\int_{0}^{1}x\sqrt{x}dx = \int_{0}^{1}P_n(x)dx \approx \sum_{i=0}^{n}w_i f(x_i)$$
其中，$x_i$ 为 $n+1$ 个节点，$w_i$ 为对应的权重。
根据上面的式子，我们可以将目标函数 $x\sqrt{x}$ 展开为幂级数形式，然后截取前 $5$ 项，得到如下多项式：
$$P_5(x) = \frac{1}{16}(63x^5-70x^3+15x)$$
我们需要找到 6 个节点 $x_i$ 和 6 个权重 $w_i$，使得数值积分公式 $\sum_{i=0}^{5}w_if(x_i)$ 对于 $P_5(x)$ 的积分精确到 $2 \times 5 + 1 = 11$ 阶。
根据 Gauss 型求积公式的定义，我们可以使用以下公式计算 $x_i$ 和 $w_i$：
$$\int_{-1}^{1}f(x)dx \approx \sum_{i=0}^{n}w_if(x_i)$$
其中，$x_i$ 和 $w_i$ 是由 Legendre 多项式 $P_n(x)$ 的 $n+1$ 个零点

Answer 2

对于解数学方程，一般需要运用不同的方法，取决于方程的类型和难度程度。 对于一些简单的方程，可以通过代数运算、拆项、通分等方式简单求解；而对于高阶方程，多项式方程等，就需要运用高等数学、代数学、微积分等相关知识进行求解。在解题的过程中，可能会有多个解或者无解的情况，需要对解的可行性进行验证。对于一些特殊情况，如含有根号、含参变量的方程，还需要进行转换求解。总之，确定方程类型和难度，根据具体情况选择合适的解法，并进行验证即可。需要尽可能多的练习，才能将解题技巧掌握到熟练的程度。

Answer 3

微积分里复合函数求导+近似计算，近量用同一函数代替，减少变量，最后代入数值，约去变量，可解