直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别

直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1、A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,求A... 直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1、A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,求A1B与平面ABD所成角的正弦值 展开
飘渺的绿梦2
2012-12-11 · TA获得超过1.6万个赞
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以C为原点,CA、CB、CC1所在直线依次为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,使A、B、C1落在坐标轴的正半轴上。令AD的中点为F,AC=a。则:
A(a,0,0)、B(0,a,0)、C(0,0,0)、C1(0,0,2)、A1(a,0,2)。
由中点坐标公式,容易得出:D(0,0,1)、E(a/2,a/2,1)、F(a/2,0,1/2)。

∵G是△ABD的重心,∴BG/FG=2,由定比分点坐标公式,得:G的坐标是(a/3,a/3,2/3)。
向量BG=(a/3,-2a/3,2/3)、向量EG=(-a/6,-a/6,-1/3)。
∵G是E在平面ABD上的射影,∴EG⊥BG,∴向量EG·向量BG=0,
∴-a^2/18+2a^2/18-2/9=0,∴a^2/18=2/9,∴a=2。
∴B的坐标是(0,2,0)、E的坐标是(1,1,1)、G的坐标是(1/3,1/3,2/3)。

∴|EG|=√(4/9+4/9+1/9)=1、|BE|=√(1+1+1)=√3。
∴sin∠EBG=|EG|/|BE|=1/√3=√3/3。
∵G是E在平面ABD上的射影,∴∠EBG就是A1B与平面ABD所成的角。
∴A1B与平面ABD所成角的正弦值是√3/3。
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