Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每根号3厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；（2）若∠ABC=60°，AB=4 根号3 厘米．①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；

Answer 1

解：（1）△PBM∽△QNM．理由如下：
如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC（已知），
∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN（等量代换）．
∵∠PBM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），∠QNM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠PBM=∠QNM（等量代换）．
∴△PBM∽△QNM；

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8

3
cm．

又∵MN垂直平分BC，
∴BM=CM=4

3
cm．

∵∠C=30°，
∴MN=

3
3
CM=4cm；

①设Q点的运动速度为vcm/s．
如图1，当0＜t＜4时，由（1）知△PBM∽△QNM．
∴

NQ
BP
=

MN
MB
（相似三角形的对应边成比例），即

vt
3t
=

4
43
，

∴v=1；
如图2，当t≥4时，同理可得v=1．
综上所述，Q点运动速度为1cm/s．
②∵AN=AC-NC=12-8=4cm，
∴如图1，当0＜t＜4时，AP=AB-BP=4

3
-

3
t，AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=12-8+t=4+t，∴S=

1
2
AP•AQ=

1
2
（4

3
-

3
t）（4+t）=-

3
2
t2+8

3
；如图2，当t≥4时，AP=

3
t-4

3
，AQ=4+t，∴S=

1
2
AP•AQ=

1
2
（

3
-4

3
t）（4+t）=

3
2
t2-8

3
；综上所述，S=

-
32t2+8
3(0＜t＜4)32t2-8
3(t≥4)

；

（3）PQ2=BP2+CQ2．
证明如下：如图1，延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD．
∵BC、DQ互相平分，
∴四边形BDCQ为平行四边形，
∴BD∥CQ，BD=CQ（平行四边形的对边平行且相等）；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ2=BP2+CQ2．

Answer 2

1、因为∠A=90
所以∠B+∠C=90
又因MN⊥BC,MQ⊥MP
所以∠C+∠CNM=90,
∠BMP+∠PMN=90,
∠PMN+∠NMQ=90,
所以∠B=∠CNM
∠BMP=∠NMQ
所以：△PBM∽△QNM
故有NQ/BP=NM/BM-------------(1)
2、∠ABC=60°，AB=4 √3
∠C=90-60=30
AC=√3AB=12
BM=MC=1/2BC=AB=4 √3
NM=1/2NC=√3/3MC=4
NC=8
带入（1）式有
NQ==√3/3BP
因为P速度Vp=√3
所以Q速度Vq=1

△APQ的面积为S
AP=AB-BP=4 √3-t√3
AQ=AC-NC+NQ=12-8+t×1=4+t
S△APQ=AP×AQ/2=(4 √3-t√3)(4+t)/2
S△APQ=8√3-(√3/2)t∧2

Answer 3

0①在直角△ABC中,∠ABC=0°,AB= 厘米,则BC= cm,AC=cm.由M角BAC=0°,AB<AC,M是BC边的中点,MN⊥BC交AC于点 0 0--赵迪酣S