Question

左焦点为F的双曲线C：x∧2/a∧2-y∧2/b∧2＝1，(a＞0，b＞0)的右支上存在点A，使得

直线FA与圆x∧2+y∧2＝a∧2相切，则双曲线C的离心率取值范围为？

Answer 1

直线FA与圆相切，由切线与半径的关系知，切线的斜率为a/b，而切线与右支有交点A，则切线斜率小于渐进线的斜率b/a，即得a/b<b/a，a^2<b^2，b^2=c^2-a^2，可得2a^2<c^2，c/a>√2。
e>√2。

Answer 2

F(-c,0),c=√(a^2+b^2),设直线FA的斜率k=tgA,须小于双曲线渐近线的斜率=b/a,
因FA与圆x^2+y^2＝a^2相切，则原点O到FA距离=a,
在切点与F，O成的直角三角形内，tgA=a/b<b/a,a^2/b^2<1,a<b,
双曲线的离心率e=c/a=√(a^2+b^2)/a<√(b^2+b^2)/a=b/a*√2,
又√(a^2+b^2)/a>√(a^2+a^2)/a=√2
所以，双曲线C的离心率取值范围为：√2<e< b/a*√2

Answer 3

由题意可知a/b<b/a,a^2<b^2=c^2-a^2,2a^<c^2,e=c/a>√2