Question

在高数不定积分中，运用第二类换元法时，dx是如何求得的呀？求指导

Answer 1

3. 利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t)。两边对自变量微分得dx=φ’(t)dt.

此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。

下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：

（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b），可直接令 t =√(ax+b）；

（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令 x = asint
被积函数含根式√(a^2+x^2），令 x = atant
被积函数含根式√(x^2-a^2），令 x = asect

注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。

还有几种代换形式：

（3）倒代换（即令 x = 1/t）：设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当 n-m＞1时，用倒代换可望成功；

（4）指数代换：适用于被积函数由指数 a^x 所构成的代数式；

（5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令 t = tan(x/2)