Question

高中数学题求解，要过程！急！

函数f(x)的定义域为D={xlx属于R,且x不等于0}，且对于任意的X1.X2属于D,有f(X1乘X2)=f(X1)+f(X2)
(1)求f(1)和f(-1)的值
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论
(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)小于等于3,且f(x)在(0,正无穷)上是增函数，求x的取值范围

Answer 1

（1）由 对于任意的X1.X2属于D,有f(X1乘X2)=f(X1)+f(X2) 可得：
f（-1*1）=f（-1）+f（1）
f（-1）=f（-1）+f（1）
所以f（1）=0

f（1）=f（-1）+f(-1)
所以f（-1）=0
（2）判断：f（x）是偶函数
证明：
令x1= - 1 x2=x
所以有：f（-x）=f（-1）+f（x）
即 f（-x）=f（x）
所以f（x）是偶函数
（3）f(3x+1)+f(2x-6)<=3=f(4)+f(4)+f(4)=f(16)+f(4)=f(64)
而 f(3x+1)+f(2x-6)=f（（3x+1）（2x-6））
[（注意题上x的取值 x不为0）所以这里x不能取 -1/3和3]
又因为 f(x)在(0,正无穷)上是增函数 所以
（3x+1）（2x-6）<=64
6x^2-16x-70<=0
3x^2-8x-35<=0
(3x+7)(x-5)<=0
-7/3<=x<=5
所以最后答案为
-7/3<=x<=5，且x不能等于 -1/3和3

Answer 2

f(x1x2)=f(x1)+f(x2)

令x1=x2=1,f(1)=f(1)+f(1),得到f(1)=0
令x1=x2=-1,f(1)=f(-1)+f(-1)=0,得到f(-1)=0
(2)令x2=-1得到f(-x1)=f(x1)+f(-1)=f(x1)
故函数是偶函数.
(3)f(4*4)=f(4)+f(4)=2
f(16*4)=f(16)+f(4)=2+1=3
f(3x+1)+f(2x-6)<=3
即有f[(3x+1)(2x-6)]<=f(64)
由f(x)是偶函数且在x>0时是增函数得到:|6x^2-18x+2x-6|<=64
(1)6x^2-16x-6<=64
6x^2-16x-70<=0
3x^2-8x-35<=0
(3x+7)(x-5)<=0
-7/3=<x<=5
(2)6x^2-16x-6>=-64
3x^2-8x+29>=0
判别式<0,故解是一切实数.
由3x+1不=0和2X-6不=0得到X不=-1/3和3
综上所述,解是-7/3=<x<=5且X不-1/3和3

Answer 3

解：
(1)对于任意x1，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
　令x1=x2=1
　∴f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)
　∴f(1)=0
　令x1=x2=-1
　∴f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0
　∴f(-1)=0
(2)令x1=-1，x2=x
　∴f(-1×x)=f(-x)=f(1)+f(x)=f(x)
　∴f(x)为偶函数
(3)f(3x+1)+f(2x-6)=f[(3x+1)(2x-6)]
　　=f(6x²-16x-6)
　∵f(4)=1
　∴f(64)=f(16×4)=f(16)+f(4)=f(4×4)+f(4)=3f(4)=3
　∴f(3x+1)+f(2x-6)=f(6x²-16x-6)≤3=f(64)
　∵f(x)在(0，+∞)上是增函数
　　f(x)为偶函数
　∴-64≤6x²-16x-6≤64
　①-64≤6x²-16x-6
　　6x²-16x+58≥0
　∴x为任意实数R
　②6x²-16x-6≤64
　　3x²-8x-35≤0
　　(3x+7)(x-5)≤0
　∴-7/3≤x≤5
∴综合①②得：x的取值范围为：[-7/3，5]

Answer 4

1、f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0
f(1)=f((-1)*(-1))=f(-1)+f(-1)=0,f(-1)=0
2、f(x)=f((-x)*(-1))=f(-x)+f(-1)=f(-x)
所以f(x)是偶函数
3、f(3x+1)+f(2x-6)=f((3x+1)(2x-6))<=3=f(4)+f(4)+f(4)=f(16)+f(4)=f(64)
即f((3x+1)(2x-6))<=f(64)
因为f(x)是偶函数，f(x)在(0,正无穷)上是增函数
所以，-64<=(3x+1)(2x-6)<=64
解得：-7/3<=x<=5

Answer 5

f(X1乘X2)=f(X1)+f(X2)
f(1*1)=f(1)+f(1) 即f(1)=2f(1) 所以f（1）=0
f(1)=f[(-1)*(-1)]=f(-1)+f(-1) =2f(-1)=0,所以f（-1）=0

f（1）=0，f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）+0=f（x），即f（x）=f（-x），所以是偶函数

f(4*4) = f(4) + f(4) = 2
f(4*4*4) = f(4*4)+f(4)=2+1=3
所以 f(64) = 3 , f(x)是偶函数，所以，f(-64) = 3
f(3x+1)+f(2x-6) = f [(3x + 1)(2x - 6)]≦3 （f(64)）
即 f [(3x + 1)(2x - 6)]≦f(64)
又f(x)在零到正无穷上是增函数，又因为f（x）是偶函数，所以f(x)在负无穷到零上是减函数；
综合得 |(3x + 1)(2x - 6)|≦ 64

x>3时，(3x + 1)(2x - 6)≦ 64，化简得 （3x+7)(x-5)≦0,解得x≦5，即3<x≦5
0<x<3,(3x + 1)(2x - 6) ≥-64，化简得 3(x-4/3)²-16/3+29≥0,恒成立，0<x<3
-1/3<x<0时，(3x + 1)(2x - 6)≥-64，化简得 （3x+7)(x-5)≥0，恒成立，-1/3<x<0
x<-1/3,(3x + 1)(2x - 6)≤64,化简得 （3x+7)(x-5)≦0,解得x≥-7/3，即-7/3≤x<-1/3

综合，x的取值范围为[-7/3,-1/3) (-1/3,0) (0,3) (3,5]

Answer 6

（1）令x1=x2=1，则即f（1*1）=f（1）+f（1),f（1）=0.
令x1=x2=-1，则f（-1*-1）=f（-1）+f（-1),即f9-1)=0.
(2)由一题得是偶函数，

Answer 7

1.f(1*1)=f(1)+f(1),得f(1)=0,同理令x1=1,x2=-1，得出f(-1)=0
2.令x1=x,x2=-1,得f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数。
3.f(4*4)=2f(4)=2,
f(4*16)=f(4)+f(16)=3
因为函数在大于0时是增函数，所以函数在小于0时是减函数
故f(-64)<=f(3x+1)+f(2x-6)=f((3x+1)*(2x-6)<=3=f(64)
所以-64<=(3x+1)*(2x-6)<=64,且3x+1,2x-6不等于0
得出-7/3<=x<=5,且x不等于3，-1/3