Question

证明定积分，上限为2派下限为0(sinx )^ndx

当n为奇数时值为0，当n为偶数时值为4倍的上限为2分之派下限为0的(sinx)^ndx

Answer 1

思路：利用被积函数的周期性和奇偶性
y=sinxd的周期为2π。所以，
∫[0,2π](sinx)^ndx=∫[-π，π](sinx)^ndx
当n为奇数时，被积函数是奇函数。所以原式=∫[-π，π](sinx)^ndx=0
当n为偶数时，被积函数是偶函数，所以∫[-π，π](sinx)^ndx =2∫[0，π](sinx)^ndx
同时，由sin²x的一个周期为π可知：原式=2∫[0，π](sinx)^ndx =2∫[-π/2，π/2](sinx)^ndx
=4∫[0，π/2](sinx)^ndx