两个微分方程求通解的题,请给出详细步骤,谢谢!!
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(1)求y''+y'-y=2e^x的通解
解:∵齐次方程y''+y'-y=0的特征方程是r²+r-1=0,则r=(-1±√5)/2
∴齐次方程y''+y'-y=0的通解是y=C1e^((-1+√5)x/2)+C2e^((-1-√5)x/2) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Ae^x
代入原方程,得Ae^x+Ae^x-Ae^x=2e^x
==>A=2
∴原方程的一个解是y=2e^x
故原方程的通解是y=C1e^((-1+√5)x/2)+C2e^((-1-√5)x/2)+2e^x (C1,C2是积分常数)。
(2)求y''-3y'-4=e^(4x)的通解
解:∵齐次方程y''-3y'=0的特征方程是r²-3r=0,则r1=3,r2=0
∴齐次方程y''-3y'=0的通解是y=C1e^(3x)+C2+4/3 (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Ae^(4x)+Bx
代入原方程,化简整理得4Ae^(4x)-3B-4=e^(4x)
==>A=1/4,B=-4/3
∴原方程的一个解是y=e^(4x)/4-4/3
故原方程的通解是y=C1e^(3x)+C2+e^(4x)/4 (C1,C2是积分常数)。
解:∵齐次方程y''+y'-y=0的特征方程是r²+r-1=0,则r=(-1±√5)/2
∴齐次方程y''+y'-y=0的通解是y=C1e^((-1+√5)x/2)+C2e^((-1-√5)x/2) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Ae^x
代入原方程,得Ae^x+Ae^x-Ae^x=2e^x
==>A=2
∴原方程的一个解是y=2e^x
故原方程的通解是y=C1e^((-1+√5)x/2)+C2e^((-1-√5)x/2)+2e^x (C1,C2是积分常数)。
(2)求y''-3y'-4=e^(4x)的通解
解:∵齐次方程y''-3y'=0的特征方程是r²-3r=0,则r1=3,r2=0
∴齐次方程y''-3y'=0的通解是y=C1e^(3x)+C2+4/3 (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Ae^(4x)+Bx
代入原方程,化简整理得4Ae^(4x)-3B-4=e^(4x)
==>A=1/4,B=-4/3
∴原方程的一个解是y=e^(4x)/4-4/3
故原方程的通解是y=C1e^(3x)+C2+e^(4x)/4 (C1,C2是积分常数)。
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