Question

两个微分方程求通解的题，请给出详细步骤，谢谢！！

Answer 1

（1）求y''+y'-y=2e^x的通解
解：∵齐次方程y''+y'-y=0的特征方程是r²+r-1=0，则r=(-1±√5)/2
∴齐次方程y''+y'-y=0的通解是y=C1e^((-1+√5)x/2)+C2e^((-1-√5)x/2) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Ae^x
代入原方程，得Ae^x+Ae^x-Ae^x=2e^x
==>A=2
∴原方程的一个解是y=2e^x
故原方程的通解是y=C1e^((-1+√5)x/2)+C2e^((-1-√5)x/2)+2e^x (C1,C2是积分常数)。
（2）求y''-3y'-4=e^(4x)的通解
解：∵齐次方程y''-3y'=0的特征方程是r²-3r=0，则r1=3，r2=0
∴齐次方程y''-3y'=0的通解是y=C1e^(3x)+C2+4/3 (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Ae^(4x)+Bx
代入原方程，化简整理得4Ae^(4x)-3B-4=e^(4x)
==>A=1/4,B=-4/3
∴原方程的一个解是y=e^(4x)/4-4/3
故原方程的通解是y=C1e^(3x)+C2+e^(4x)/4 (C1,C2是积分常数)。

Answer 2

y"+y'-y=2e^x (1)
设（1）的特解：y*=ae^x 代入（1），e^x(a+a-a)=2e^x a=2 y*=2e^x
y"+y'-y=0 (2) 由：s^2+s-1=0 s1=(-1+√5)/2 s2=(-1-√5)/2
(2)的通解：y=c1e^(s1x)+c2e^(s2x)
(1)的通解：y(x)=c1e^(s1x)+c2e^(s2x)+2e^x