Question

请教一个微分方程求特解的题，请给出详细步骤，谢谢！

Answer 1

解：令y²/x=t，则2yy'=t+xt'
∵y'=cos(y²/x)/(2y)+y/(2x)
==>2yy'=cos(y²/x)+y²/x
==>t+xt'=cost+t
==>xt'=cost
==>dt/cost=dx/x
==>ln[(1+sint)/(1-sint)]=2ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>(1+sint)/(1-sint)=Cx²
==>sint=(Cx²-1)/(Cx²+1)
==>sin(y²/x)=(Cx²-1)/(Cx²+1)
∴原方程的通解是sin(y²/x)=(Cx²-1)/(Cx²+1)
∵当x=1时，y=√π/2
∴代入通解，得C=3+2√2
故原方程在初始条件(当x=1时，y=√π/2)下的特解是sin(y²/x)=(Cx²-1)/(Cx²+1) (C=3+2√2)。