Question

已知函数f(x)=(x^2+ax+7a)/(x+1),a∈R,若对于任意的x∈N*,f (x)≥4恒成立

已知函数f(x)=(x^2+ax+7a)/(x+1),a∈R,若对于任意的x∈N*,f (x)≥4恒成立,则a的取值范围是（ ）
求过程！！答案为[1/3，正无穷)

Answer 1

(x^2+ax+7＋a)/(x+1)≥4，x∈N*,
(x^2+ax+7＋a)/(x+1)≥4
[(x+1)²+（a-2）x+6+a]/(x+1)≥4
[(x+1)²+（a-2）（x+1）+8 ]/(x+1)≥4
(x+1)+（a-2）+8 /(x+1)≥4
a≥6-[(x+1)+8 /(x+1)]恒成立
∴a≥﹛6-[(x+1)+8 /(x+1)]﹜max
=6-4√2,当x=2√2-1时取得
因为x∈N*,所以当x=2时，﹛6-[(x+1)+8 /(x+1)]﹜max=1／3
∴a≥1／3

或x^2+ax+7＋a≥4x+4，x∈N*,
﹙x＋1﹚a≥﹣﹙x²－4x+3﹚，
a≥﹣﹙x²－4x+3﹚／﹙x＋1﹚
=﹣[﹙x＋1﹚²－6﹙x＋1﹚＋8]／﹙x＋1﹚
=﹣[﹙x＋1﹚－6＋8／﹙x＋1﹚]
∴a≥﹛﹣[﹙x＋1﹚－6＋8／﹙x＋1﹚]﹜max=6-4√2
当x=2√2-1时取得
因为x∈N*,所以当x=2时，﹛6-[(x+1)+8 /(x+1)]﹜max=1／3
∴a≥1／3

Answer 2

(x^2+ax+7a)/(x+1)={(x+1)^2+(a-2)x+7a}/x+1={(x+1)^2+(a-2)(x+1)+1+6a}/x+1=x+1+a-2+（6a+1）/x+1大于等于2更号6a＋1+a-2大于等于4，答案好像有问题。

追问

不好意思，打错了，应该为函数f(x)=(x^2+ax+7+a)/(x+1)

追答

那就是：x＋1+a-2+(8)/x+1大于等于17/3＋a－2大于等于4，所以a大于等于1/3

Answer 3

表达式是不是错了,要不答案不是[1/3，正无穷)

追问

不好意思，打错了，应该为函数f(x)=(x^2+ax+7+a)/(x+1)

追答

有人做了,你看看吧