Question

如图，△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,D是BC中点

如图，△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,D是BC中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度阉BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动时间为t秒.
（1）若a=2，△BQP∽△BDA，求t的值（2）设点M在AC上四边形PQCM为平行四边形①a=5/2，求PQ的长②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的角平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

∵AB=AC=10，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=CD=6，∴AD=8，
⑴BP=2t，BQ=6-t，
由相似得：BP/BQ=BD/AB=4/5，
∴10t=24-4t，t=12/7。
⑵①当四边形PQCM是平行四边形时，PQ∥AC，∴ΔPBQ∽ΔABC，
PB/BQ=AB/BC=5/6，
∴5/2t*6=5*(6-t)，t=3/2，PQ=PB=5/2*3/2=15/4。
②当P在∠ACB的平分线上时，BP/AP=BC/AC=6/5，
(三角形角平分线定理：角平分线分对边的比等于夹这个角两边的比)，
∵PQ∥AC，∴CQ/BQ=AP/BP=5/6，
∴Q在CD上，这是不可能的，
∴不存在a，使P在∠ACB的角平分线上。

Answer 2

1. t=18/13
2. ①PQ=3.75 ②不存在a，使P在∠ACB的角平分线上