Question

1/√4-x²dx 在＜0，1＞上的定积分？

Answer 1

😳问题 : ∫ (0->1) dx/√(4-x^2)

👉定积分

• 定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

• 这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

• 一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在

👉定积分的例子

1. 『例子一』 ∫ (0->1) dx =[x]|(0->1) =1

2. 『例子二』 ∫ (0->1) x dx =(1/2)[x^2]|(0->1) =1/2

3. 『例子三』 ∫ (0->1) cosx dx =[sinx]|(0->1) =sin1

👉回答

• 令

• x=2sinu

• dx=2cosu du

• x=0, u=0

• x=1, u=π/6
  

∫ (0->1) dx/√(4-x^2)

• 代入上面转换

=∫ (0->π/6) 2cosu du/[2cosu]

=∫ (0->π/6)  du

=[u]|(0->π/6)

• 代入积分上下限

=π/6

• 得出结果

∫ (0->1) dx/√(4-x^2)=π/6

😄:    ∫ (0->1) dx/√(4-x^2)=π/6

Answer 2

Answer 3

∫<0, 1>dx/√(4-x²) = [arcsin(x/2)]<0, 1> = π/6