Question

如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；



Answer 1

（1）
已知抛物线经过A（-2，0），原点O
则有抛物线为 y=ax(x+2)
又因为抛物线经过B（-3，3）
则3=a(-3)(-3+2) ∴ a=1
即抛物线解析式为y=x²+2x
（2）
由于E 在对称轴x=-1上 则E的横坐标为-1
又依题意 A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形
即 ED//AC 且ED=AC =2
故 D的横坐标为1 设D（1,y）又D在抛物线上，则y=1+2=3
即 D的坐标为（1,3）
【另外，若不考虑A、O、D、E四顶点的次序
那么D的横坐标也可为-3
即B点可以作为D，此时，四边形为ACED】

Answer 2

解：设抛物线方程为y=ax²+bx+c=0，由于抛物线过三点A(-2,0)，B(-3,3)，O(0,0)，代入抛物线方程得4a-2b+c=0,9a-3b+c=3,c=0，解得a=1，b=2，c=0。所以抛物线方程为y=x²+2x。

对称轴x=-1，由于E是对称轴上的点，所以可设E的坐标为E(-1,y0)，由于A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，所以必有OA//DE，也即DE//x轴，所以D、E的纵坐标相等，因此可设D的坐标为D(x0,y0)，因为有OA=DE，所以|x0+1|=|OA|=2，解得x0=-3或者x0=1，因为D在抛物线上，把D坐标代入，可求得y0=x0²+2x0，即y0=3，所以D的坐标为D(-3,3)或者D(1,3)