Question

如图，三角形ABC内接于圆O，BC是圆O的直径，OE垂直AC，垂足为E，过点A作圆O的切线与BC的

延长线交于点D，sinD=1／2，OD=20。（1）求角ABC的度数；（2）连接BE，求线段BE的长

Answer 1

解：连结OA，由于BC是直径，AD是切线，∠BAC=90º，∠OAD=90º，在△OAD中，由于∠OAD=90º，所以D是锐角，因此由sinD=1/2，可得∠D=30°，所以∠AOD=60°，注意到有OA=OC，所以△OAC是等边三角形，所以∠ACB=60º，所以∠ABC=90°-∠ACB=30º

注意到sinD=OA/OD=1/2，所以OA=OD/2=10，所以AC=OA=OC=OB=10，AB=√(BC²-AC²)=10√3
由于OE⊥弦AC，所以OE平分AC，所以AE=AC/2=5，因此BE=√(AB²+AE²)=5√65。