Question

已知3阶矩阵A的3个特征值为1,1,2,对应的特征向量为a1=【1 2 1】,a2=【1 1 0】,a3=【2 0 -1】,求矩阵A?

Answer 1

矩阵A为（3,0,-1，-2,1,1， 2,0,0）

解：因为A*a1=a1，A*a2=a2，A*a3=2a3，

所以A*（a1，a2，a3）=（a1，a2，2a3），那么

A*（1,2,1，1,1,0，2,0,-1）=（1,2,1，1,1,0，4,0,-2），

根据向量乘积法则A*B=C，A*B*B-1=C*B-1，则

A=（1,2,1，1,1,0，4,0,-2）*（1,2,1，1,1,0，2,0,-1）-1

=（3,0,-1，-2,1,1， 2,0,0）

扩展资料：

矩阵特征值得性质

1、n阶方阵A=(aij)的所有特征根为λ1，λ2，…,λn(包括重根)，则

（1）λ1*λ2*…*λn=|A|

（2）λ1+λ2+…+λn=a11+a22+...+ann

2、若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

3、若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

4、设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

参考资料来源：百度百科-特征向量

参考资料来源：百度百科-矩阵特征值

Answer 2

令P=(a1,a2,a3)=
1 1 2
2 1 0
1 0 -1
由已知, 有 P^-1AP=diag(1,1,2)
所以 A=Pdiag(1,1,2)P^-1=
3 -2 2
0 1 0
-1 1 0

追问

这样做的不对啊、、我也是这样做的！答案不是这样的、这样做好像是对“实对称矩阵”的吧、

追答

P不是唯一的!
P来源于特征向量
特征向量来源于齐次线性方程组的基础解系
因为基础解系不唯一, 所以P不唯一.
你可以验证一下 AP 是否等于 Pdiag(1,1,2)

追问

答案是A=【5/3 -2/3 2/3
0 1 0
1/3 -1/3 4/3】
请你再看看哈！

追答

答案是错的

Answer 3

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