Question

直角梯形ABCD中AD‖BC，∠A=∠B=90°E为AB上的一点,CE平分∠BCD，DE平分∠ADC,AB为圆O的直径

求证：AB于CD相切。（大家帮忙证一下E是圆的圆心谢谢呀^_^#）

Answer 1

证明:
过E作EF⊥CD于点F,则有∠DFE=∠CFE=90°
∵CE平分∠BCD
∴∠BCE=∠FCE
∵∠CFE=90°=∠B,CE是公共边
∴△BCE≌△FCE
∴EF=AE
同理△ADE≌△FDE,EF=BE
∴E是AB的中点
∵AB为圆O的直径
∴E是圆O的圆心,EA.EB.EF是半径
∵EF⊥CD于点F
∴CD是圆O的切线,相切圆O于点F

Answer 2

在CD边取一点F，使DF=DA，连接EF。
证明：∵DF=DA，DE=DE，DE平分∠ADC
∴⊿DAE≌⊿DFE（SAS）
∴EF⊥CD
∵∠B=90°，EF⊥CD，CE平分∠BCD，EC=EC
∴⊿EBC≌⊿EFC（AAS）
∴AE=EB=EF，
∴E是圆O的圆心
∴圆O与CD相切。

Answer 3

过E点作CD的垂线，交CD于点F，因为角平分线上的点到两边的距离相等（角平分线法则），又因为AE垂直于AD，BE垂直于BC，所以AE=EF，BE=EF，所以AE=BE，即点E为圆的圆心。EF垂直于CD 所以切点为点F，即圆与CD相切

Answer 4

过点E做EF垂直于CD
∵CE平分∠BCD DE平分∠ADC
∴AE=BE=EF(角平分线定义）
∵AB为圆O的直径
∴E为圆O的圆心
又∵EF垂直CD
∴AB于CD相切