Question

一道奥数题，帮忙解一下

在一个红色钱包与黑色钱包里分别装着6枚和8枚硬币，并且两个钱包中的总钱数相等。如果从红色钱包中任取两枚硬币与黑色钱包中的任取的两枚硬币交换时，红色钱包中的总钱数要么比原来多2分，要么比原来的钱数少2分。两个钱包中共装有多少钱？（注：这里的硬币只有1分、2分、5分三种。）

Answer 1

3.解:我们先证明红钱包里不可能同时装有1分,2分,5分三种币值的硬币.因为否则,从红钱包里任取两枚硬币时,可能有2+1,2+5,1+5三种情形.前两种是奇数,后一种是偶数.而从黑钱包里任取的二个硬币都能使红钱包的钱的奇偶性不变,这是不可能的.类似可知,红钱包里不能同时有2分币和1分币或2分币和5分币.因此红钱包中的硬币只有两种可能:一是全为2分币;二是装有一分与五分币没有2分币.同理,黑钱包中或全为2分币,或其中没有2分币.并且,由于两钱包中钱数相等而硬币数不等,因此不可能红,黑钱包中都只有2分币.
情形1:当红钱包中全为2分币时,总钱数为2×6=12分.此时显然黑钱包中不可能有两个或两个以上的五分币,也不可能都是一分币(否则红,黑钱包中装钱数不等).因此黑钱包里有一个五分币和七个一分币.这种情形显然也满足题目中的后一条件.这种情况,两个钱包中总钱数为:
6×2+5+1×7=24(分),即2角4分钱.
情形2:红钱包仅装有一分或五分币.
①黑钱包中有8枚2分币.则红钱包中也应有16(=2×8)分.但一分币和五分币共6枚,总钱数不可能为16分,因此这种情形不可能发生.
②黑钱包中无2分币,设红钱包中有m枚五分币,n枚一分币;黑钱包中有p枚五分币,q枚一分币.则
m+n=6,p+q=8,5m+n=5p+q.
显然m>p.因此5(n-p)=q-n,因为0 综上所述,两个钱包中共有2角4分钱.

Answer 2

解:我们先证明红钱
①黑钱包中有8枚2分币.则红钱包中也应有16(=2×8)分.但一分币和五分币共6枚,总钱数不可能为16分,因此这种情形不可能发生.
②黑钱包中无2分币,设红钱包中有m枚五分币,n枚一分币;黑钱包中有p枚五分币,q枚一分币.则
m+n=6,p+q=8,5m+n=5p+q.
显然m>p.因此5(n-p)=q-n,因为0 综上所述,两个钱包中共有2角4分钱,]^^^^^^^^

Answer 3

首先我们要排列出2枚硬币的组合，分别对应分值为2、3、4、6、7、10。
显然3、7、10不能满足相互间差2的要求可以排除，那么就剩2（1+1）、4（2+2）、6（1+5）三种组合。
由于不存在交换后相等的存在，因此，必然一个包出来都是4，另包出2、6。因为不存在10分，所以不可能出现2枚5分硬币。
第一种情况红中都是2分，那么黑中为一个5分加其余1分，红12分黑12分，满足等数要求，总值24分；其二，红是一5其余1，黑中2分，红为总10分，黑为16分不等，此情况排除。
所以结论就是总数24分。