Question

已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值和P点坐标

Answer 1

点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和
d=|PF|+|PA|≥|AF|=根号【(12)^2+2^2】 =(根号17) /2 ．
故点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为：2分之(根号17) ．
我同意这个观点
下面求P点坐标
P在直线AF上，直线AF的斜率k=（2-0）/(0-1/2)=-4
故直线AF的的方程为y=-4x+2
由y=-4x+2与y2=2x
联立得x=（9-√17）/16,y=（√17-1）/4
或x=（9+√17）/16,y=（-√17-1）/4
又有P点的位置知x＜1/2
即x=（9+√17）/16,y=（-√17-1）/4（舍去）
故P点坐标(（9-√17）/16,（√17-1）/4)

Answer 2

分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．

解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则 F(1/2 , 0)，
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，
则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和
d=|PF|+|PA|≥|AF|=根号【(12)^2+2^2】 =(根号17) /2 ．
故点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为：2分之(根号17) ．

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追问

P点坐标呢

追答

P在直线AF上，直线AF的斜率k=（2-0）/(0-1/2)=-4
故直线AF的的方程为y=-4x+2
由y=-4x+2与y2=2x
联立得x=（9-√17）/16,y=（√17-1）/4
或x=（9+√17）/16,y=（-√17-1）/4
又有P点的位置知x＜1/2
即x=（9+√17）/16,y=（-√17-1）/4（舍去）
故P点坐标为(（9-√17）/16,（√17-1）/4)