Question

已知双曲线G的方程为:x^2/3-y^2=1,直线l:y=kx+√2.

（1)求双曲线G的渐近线方程,离心率(2)若直线l与双曲线G有两个不同的交点,求实数k的取值范围

Answer 1

（1）由 x^2/3-y^2=0 得双曲线渐近线为 x=±√3*y ，
由于 a^2=3 ，b^2=1 ，c^2=4 ，因此离心率 e=c/a=2/√3=2√3/3 。
（2）将 y=kx+√2 代入双曲线方程得 x^2/3-(kx+√2)^2=1 ，
化简得 (1-3k^2)x^2-6√2kx-9=0 ，
由于直线与双曲线有两个不同交点，因此上式有两个不同实根，
所以判别式=72k^2-4(1-3k^2)*(-9)>0 ，且 1-3k^2≠0 ，
解得 -1<k<1 ，且 k≠±√3/3 ，
所以，所求 k 的取值范围是（-1，-√3/3）U（-√3/3，√3/3）U（√3/3，1）。