Question

椭圆方程为25分之x2+16分之y2=1，F1,F2为左右焦点，P是椭圆上一点，求向量F1乘向量F2的最小值为

Answer 1

设 P（5cosa，4sina），已知F1（-3，0），F2（3，0），
因此向量 PF1=（-3-5cosa，-4sina），PF2=（3-5cosa，-4sina），
所以 PF1*PF2=25(cosa)^2+16(sina)^2-9=9(cosa)^2+7 ，因此最小值为 7（最大值为 16）。

Answer 2

a=5,b=4,c=3,设|PF1|=m,|PF2|=n,PF2^2+PF1^2-2PF2·PF1=F1F2^2,（1）
m^2+n^2-2PF2·PF1=36,(m+n)^2-2mn-2PF2·PF1=36,∵m+n=2a=10,∴100-2mn-2PF2·PF1=36,
PF2·PF1=32-mn,m+n>=2√mn，mn<=25,∴PF2·PF1(min)=7