Question

利用函数的单调性与函数的极值证明不等式,当x>4时,2^x>x^2

Answer 1

首先, 证明函数的单调性, 设x2>x1>4
f1(x)=2^x
f1(x2)-f1(x1)=2^x2-2^x1=2^x1(2^x2/2^x1-1)=2^x1*[2^(x2-x1)-1]
因为x2>x1>4, 所以2^(x2-x1)>2^0=1
则 f1(x2)-f1(x1)>0, 函数f1(x)=2^x 在x>4时为单调增函数, 最小值为2^4=16

再设f2(x)=x^2,
f2(x2)-f2(x1)=x2^2-x1^2=(x2-x1)(x2+x1)
因为x2>x1>4, 所以x2-x1>0
f2(x2)-f2(x1)>0, 函数f2(x)=x^2 在x>4时也为单调增函数, 最小值为4^2=16

分别对f1(x)和f2(x)求导, 得
f1'(x)=2^xln2
f2'(x)=2x
同上述方法, 也可证明f1'(x)=2^xln2, f2'(x)=2x在x>4时也是单调增函数,
f1'(x)最小值为16ln2>f2'(x)的最小值8

但为证明上述导数在整个x>4区间都存在f1'(x)>f2'(x), 需再对上述导数求导得
f1''(x)=2^xln2^2, f2''(x)=2
同上述方法, 也可证明f1''(x)=2^xln2^2在x>4时也是单调增函数, 最小值为16ln2^2> f2''(x)=2

倒推回去, 则在整个x>4区间都存在f1'(x)>f2'(x).
则f1(x)>f2(x)也在整个x>4区间都成立.

Answer 2

OK