Question

一个数学题，求高手帮忙

已知函数f(x)=e^x,g(x)=ln(x/2) +1/2 ,若对任意的a属于R，存在b大于0，使f(a)=g(b),则b-a的最小值为？

Answer 1

解：令 y=ea，则 a=lny，令y=lnb/2+1/2，可得 b=2e^(y-1/2)
则b-a=2e^(y-1/2)-lny
∴(b-a)'=2e^(y-1/2)-1/y
显然，（b-a）′是增函数，观察可得当y=1/2时，（b-a）′=0，故（b-a）′有唯一零点
故当y=1/2时，b-a取得最小值为2e^(y-1/2)-lny=2+ln2

Answer 2

存在x使得f(x)>m(1-a^2)则只要使f(x)取得最大值时大于m(1-a^2)即可所以ln(1/2+1/2a)+1-a>m(1-a^2)对任意a∈（1,2）都成立即可所以m>[ln(1/2+1/2a)+1-a]/(1-a^2)令g(a)=[ln(1/2+1/2a)-a+1]/(1-a^2)g'(a)=0得a=0或a=1当a趋向1时g(a)取得最大值-1/4所以m>=-1/4