Question

（高二数学）已知椭圆E:x^2/16+y^2/9=1,P(x,y)是椭圆上的一点,求x+y的最值

答案的做法是令x=4cosa,y=3sina，不明白什么意思?为什么?求解答，顺便还有其它方法吗?谢谢!

Answer 1

学参数方程了吗，答案给的是参数方程做法
椭圆标准方程可换为x=4cosa (a为参数)
y=3sina
所以x+y=4cosa+3sina=5（4/5cosa+3/5sina) 设sinφ=4/5，cosφ=3/5
则x+y=5sin(a+φ)，sin(a+φ)∈【-1，1】，所以x+y最大值为5，最小值为-5

x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的参数方程为x=acosθ (θ为参数)
y=bsinθ

Answer 2

答案是最简单的方法：三角换元，是根据椭圆的参数方程得来的，可参考选修教材关于极坐标与参数方程那本书
还有其他方法：
例如用柯西不等式：由题意得：9x²+16y²=144,又﹙9x²+16y²﹚×﹙1/9＋1/16﹚≥﹙x+y﹚²
得到x+y≤5，故x+y的最大值为5