Question

设n阶方阵A满足A2=E.证明：A必相似于对角矩阵.

Answer 1

【答案】：首先由定义可求出A的特征值只能是1或-1.属于1的线性无关特征向量个数为n-r(E-A)，属于-1的线性无关特征向量个数为n-r(-E-A)=n-r(E+A)，故A的线性无关特征向量个数为2n-[r(E-A)+r(E+A)].要证明A相似于对角矩阵，只要证明r(E-A)+r(E+A)=n即可.由A²=E，有(E-A)(E+A)=O，于是由3-50题，有r(E-A)+r(E+A)≤n；又因(E-A)+(E+A)=2E，于是由3-33题，有n=r(2E)=r(E-A+E-A)≤r(E-A)+r(E+A).以上两方面说明，r(E-A)+r(E+A)=n.