Question

《线性代数》中关于矩阵的一题目：

设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是矩阵P-1（P的负1次方）AP的属于特征值λ的特征向量，则矩阵A属于特征值λ的特征向量是______？

希望得到专家详细解答！谢谢

Answer 1

根据特征值与特征向量的定义
因为 n维列向量a是矩阵P^(-1)AP的属于特征值λ的特征向量
所以 P^(-1)AP*a=λ*a
两边同时左乘P，得 AP*a=P*λ*a
因为 λ为实数
所以 AP*a=P*λ*a=λ*P*a
即 A*(Pa)=λ*(Pa)
所以 矩阵A属于特征值λ的特征向量为向量Pa

追问

两边乘P 把左边的 P^(-1)消了 可以直接当成是数消去吗？矩阵也可以这么消？ 还是说矩阵P * 矩阵P^(-1)=E=1

追答

P与P^(-1)不能直接抵消，而是P*P^(-1)=E，然后E左乘A=A，所以看上去像是抵消，但实际上是一个n*n的单位矩阵

Answer 2

1. 相似矩阵特征值相同

2. 矩阵P^-1AP属于特征值λ的特征向量a,   P^-1AP*a=λa

   两边同乘以P    有 APa=λPa

3. 矩阵A属于特征值λ的特征向量是Pa

Answer 3

a是n维列向量即是n*1的行列式，a是P^(-1)AP的特征向量=》P^(-1)AP*a=λa，要得到关于A的特征向量就是求一个向量使得Ax=λa，观察已有的等式发现在等式两边右乘矩阵P可以得到APa=λPa，向量Pa 就是特征向量了。。。。

Answer 4

a.相似矩阵特征直，特征向量相同