Question

设齐次线性方程组:x1+x2+x3+x4=0,x2-x3+2x4=0,2x1+3x2+(a+2)x3+4x4=0,3x1+5x2+x3+(a+8)x4=0.

问:当a在何范围取值时,方程组有非零解?

Answer 1

齐次线性方程组有非零解，则必有系数矩阵的行列式为0.（反之，若系数矩阵的行列式不为0，则它只有零解）
|1 1 1 1|
|0 1 -1 2|=0
|2 3 a+2 4|
|3 5 1 a+8|
化简，得：
|1 1 1 1|
|0 1 -1 2|
|0 1 a 2|
|0 2 -2 a+5|
=
|1 -1 2|
|0 a+1 0|
|0 0 a+1|
=(a+1)^2=0
即：a=-1.
仅当a=-1时,该方程组有非零解。

Answer 2

写出线性方程组的系数矩阵，并化成上阶梯型。当秩小于4的时候有非零解，计算结果是a等于-1有非零解