Question

平行六面体与四面体的体积关系

为什么平行六面体的体积是其中四面体体积的6倍？ 为什么呢？

Answer 1

自己画个图~从上到下依次标注ABCD-A1B1C1D1
ABCD-A1B1C1D1为一平行六面体，它的底面平行四边形的边为a，b，夹角为α，棱长为c，棱长与底面的夹角为β。A-A1B1D1为其中一四面体（三棱锥）
那么：
平行六面体的体积V1=S1h=(absinα)*(csinβ)=abcsinαsinβ
四面体的体积V2=(1/3)s2h=(1/3)*[(1/2)absinα]*(csinβ)=(1/6)abcsinαsinβ
所以：
V1/V2=(abcsinαsinβ)/[(1/6)abcsinαsinβ]=6

简单的说，它们的底面之间的关系为2：1，高相等（为1：1）
而，两者的体积公式中又存在一个1：(1/3)=3:1
所以，总的来说就是6：1

Answer 2

从公式出发：
四面体体积公式：V0=1/3*sh，设s=1/2*a*b，其中s为底面积，h为高，a，b分别为三角形底边和高，则又可写为：V0=1/3*1/2*a*b*h=1/6*a*b*h，则
六面体体积公式为：V1=a*b*h，则有
V1=6V0.
证明过程用到向量和行列式，比较繁琐，感兴趣自己找资料