Question

已知函数f(x)=2x+1/x+1求f(x)的定义域值域，判断并用定义证明f(x)在(-1,+无穷)上的单调性

Answer 1

分式的定义域为分母不为0.所以这个式子的定义域为{x|x≠-1}
f(x)=(2x+1)/(x+1)=2-1/(x+1)
设-1<x1<x2
则f(x2)-f(x1)=[2-1/(x2+1)] - [2-1/(x1+1)=1/(x1+1)-1/(x2+1)= (x2-x1)/[(x1+1)(x2+1)] >0
所以f(x2)>f(x1)
所以f(x)在(-1,+无穷)上的单调增加

追问

值域呢

追答

f(x)=(2x+1)/(x+1)=2-1/(x+1) 值域为{y|y≠2}
（依据：y=1/x的值域为y≠0）

Answer 2

f(x)=(2x+1)/(x+1)的定义域是 x不等于-1

f(x)=(2x+1)/(x+1)=(2x+2-1)/(x+1)=2-1/(x+1)
∴在(-1,+无穷)，单调递增

设-1<x1<x2
∴f(x2)-f(x1)=[2-/(x2+1)]-[2-/(x1+1)]
=1/(x1+1)-1/(x2+1)
=(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)
∵x2-x1>0 x1+1>0 x2+1>0
∴f(x2)-f(x1)>0
即 在(-1,+无穷)，单调递增