Question

三角函数微分方程求解

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Answer 1

令y/x=u,y=ux,dy/dx=xdu/dx+u
原式化为(xdu/dx+u)cosu=ucosu-1
du/dx=-secu/x
-cosudu=dx/x
-sinu=ln|x|+C
-sin(y/x)=ln|x|+C

追问

我三角函数的题总不会算啊，拜托您了，不好意思麻烦您了。

追答

书上的经典题目。先证明∫(0,π)xf(sinx)dx=π/2∫(0,π)f(sinx)dx： 设x=π-t,则∫(0,π)xf(sinx)dx=-∫(π,0)(π-t)f[sin(π-t)]dt=∫(0,π)(π-t)f(sint)dt=π∫(0,π)f(sint)dt-∫(0,π)tf(sint)dt=π∫(0,π)f(sinx)dx-∫(0,π)xf(sinx)dx 故∫(0,π)xf(sinx)dx=π/2∫(0,π)f(sinx)dx 所以∫(0,π)xsinx/(1＋(cosx)^2)dx=π/2∫(0,π)sinx/(1＋(cosx)^2)dx=-π/2[arctan(cosx)](0,π)=π^2/4