Question

线性代数相似矩阵问题

问题一：判断矩阵相似条件，除了相似矩阵秩相同，特征值相同，还有什么判断方法？
问题二？图中方框是什么意思？或者说方框所在的那行等式是什么意思？

Answer 1

判断两个矩阵相似, 最好使用lamda-矩阵的有关理论. 事实上, 两矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子, 或它们有相同的行列式因子, 或它们有相同的初等因子, 或它们有相同的标准形(亦称Simith normal form).

图中方框表明特征值3的几何重数等于代数重数, 或者说特征值3的特征子空间是2维的, 或者说特征值3恰含有两个线性无关的特征向量.

Answer 2

一：其实判断秩相同，特征值相同是不够的，应该要求每一个特征值的代数重数也要相同。
另外，如果存在正交变换阵将A变到B，或者反之，则也能说明两者相似。
二：方框的意思应该是为了说明B是可对角化的，即要求B的每一个特征值的代数重数=几何重数。
这些都是两年前学的东西了，也不知道说的对不对？

Answer 3

楼上说的用不变因子初等因子不太直接，而且繁琐！判断两个矩阵相似一个很好用的必要条件是迹相等！直接把矩阵对角元相加，不想等就不相似！如果相等，不一定相似。再用特征值判断！