Question

如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上任意的一点，过P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足为E、F,求证：PE+PF=CB

Answer 1

（1）由题可得PE平行且等于1/2CD, 证三角形BPE≌三角形CPE, 得PE=PF, 所以PE PF=CD
(2) PE PF=CD. 理由：
过点C作CH⊥EP交EP的延长线于
H.
∵四边形CDEH为矩形，
又∵DE//CH, AB=AC,
∴∠B=∠PCH=∠PCF
又∵PF⊥AC,
∴∠PFC=∠PHC=90°.
PC=PC.
∴三角形PFC≌三角形PHC.
∴PF=PH.
∴PE PH=PE PF=CD.
点拨：本题也可通过连接AP，由S三角形ABC=S三角形ABP S三角形ACP得结论。

这是书上标准答案，但是我也看不太懂。

Answer 2

不可能，因为PEB,PFC都是直角三角形，BP,PC是斜边，但是PE和PF都是直角边，一定小于斜边。而且D这个条件没用上。

追问

连接AP，运用面积求呢？

追答

我已经说了不可能了……运用面积求什么？

Answer 3

应该是：“求证：PE+PF=BD”吧

追问

之后呢？

追答

证明：过P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴PG∥DF，GD∥PF（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴四边形PGDF是平行四边形（两条对边互相平行的四边形是平行四边形）；
又∠GDF=90°，
∴四边形PGDF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴PF=GD（矩形的对边相等）①
∵四边形PGDF是矩形
∴PG∥DF，即PG∥AC，
∴∠BPG=∠C（两条直线平行，同位角相等），
又∵AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠C（等腰三角形的两底角相等），
∴∠BPG=∠ABC（等量代换）
∵∠PEB=∠BGP=90°（已证），BP=PB
∴△BPE≌△PBG（AAS）
∴PE=BG②
①+②：PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD．

Answer 4

不知道