Question

计算：定积分∫（在上9 ,在下 4）√x/√x-1 dx求详细过程答案，拜托大神...

Answer 1

∫(4→9) √x/√(x - 1) dx，令√x = y，x = y²，dx = 2y dy
= ∫(2→3) y/√(y² - 1) * (2y dy)
= 2∫(2→3) y²/√(y² - 1) dy
再令y = secz，dy = secztanz dz，y > 0
= 2∫(π/3→arcsec(3)) sec²z/tanz * (secztanz dz)
= 2∫(π/3→arcsec(3)) sec³z dz
= [secztanz + ln(secz + tanz)]：(π/3→arcsec(3))
= [6√2 + ln(3 + 2√2)] - [2√3 + ln(2 + √3)]
= 6√2 - 2√3 - ln[(2 + √3)/(3 + 2√2)] ≈ 5.46697

其实看下限和上限或多或少都能想到该用怎样的换元了。

Answer 2

　　事实上，fin3574给出的解答并不需要设参变量。在积分=2∫(2→3) y²/√(y² - 1) dy时，令t=\sqrt{y^2-1}，则原式=2\int_{\sqrt 3}^{\sqrt 8}({t+\frac{ 1}{ t}})dt。剩下的就简单了。

Answer 3

不会