Question

已知：如图8，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=50°，∠ACD=25°， ∠BAD=65°

求证：(1)AD=CD；(2)AB是⊙O的直径.

Answer 1

（1）

∵在圆上，弦AD对应角∠ABD与∠ACD

∴∠ABD=∠ACD=25°

同理，∠CBD=∠CAD

 

∵∠CBD=∠B-∠ABD=50°-25°=25°

∴∠CAD=25°=∠ACD

∴△DAC是等腰直角三角形

∴AD=CD

（2）

∵∠CAD=∠BAD-∠CAD=65°-25°=40°

∴在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-50°-40°=90°

∴AB是△ABC外接圆O的直径。

Answer 2

证明：
(1)
∵A,B,C,D四点共圆,
∴∠B+∠D=180°
∴∠D=130°
∵∠ACD=25°
∴∠DAC=180°-∠D-∠ACD=25°
∴∠ACD=∠DAC
∴AD=CD
(2)
∵A,B,C,D四点共圆,
∴∠DAB+∠DCA+∠ACB=180°
∴∠ACB=90°
∴AB是⊙O直径

Answer 3

∵∠B=50°，
∴∠D=180°-50°=130°，
∵∠ACD=25°，
∴∠CAD=180°-∠D-∠ACD=25°=∠ACD，
∴AD=CD。
⑵∵∠BAD=65°，
∴∠BAC=∠ABD-∠CAD=40°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=90°，
∴AB是⊙O的直径。

Answer 4

哈库拉马塔塔